Ejemplo de Minimizar

Se tiene el siguiente problema:

Función Objetivo

Minimizar: Z = 3X₁ – 2X₂

Sujeto a:

2X₁ + X₂ ≤ 18

2X₁ + 3X₂ ≤ 42

3X₁ – 2X₂ ≤ 5

X₁, X₂ ≥ 0

 

Solución

 

El problema se adecuará al modelo estándar de programación lineal, agregando las variables de holgura, exceso y/o artificiales en cada una de las restricciones:

• Restricción 1: Tiene signo «≤» (menor igual) por lo que se agrega la variable de holgura S₁.
• Restricción 2: Tiene signo «≤» (menor igual) por lo que se agrega la variable de holgura S₂.
• Restricción 3: Tiene signo «≤» (menor igual) por lo que se agrega la variable de holgura S₃.

A continuación se muestra el problema en la forma estándar. Se colocará el coeficiente 0 (cero) donde corresponda para crear nuestra matriz:

 

 

Como el ejercicios es de minimización, elegiremos el mayor valor positivo para la variable de entrada: 2. Por lo tanto la variable de entrada sería X₂.

Para la variable de salida dividiremos los valores de la columna R con los de la columna X₂ (siempre y cuando sean positivos). Los resultados en orden serían: 18/1, 42/3 y la última fila no se considera porque su valor correspondiente a X₂ es negativo (-2). 

Se debe elegir el menor valor de esta división: 42/3=14; por lo tanto la variable de salida se encuentra en la segunda fila:  S₂.

El elemento pivote se encuentra en el cruce de X₂ y S₂: 3.

Realizamos las reducciones de Gauss-Jordan:

 

 

En esta última matriz, todos los valores del vector de costes reducidos son negativos, lo que indica que nos encontramos en el punto óptimo del problema de minimización. El resultado sería:

Z = -28

X₁= 0, X₂= 14, S₁= 4, S₂= 0, S₃= 33

Nota: El valor de Z puede ser negativo ya que el problema resuelto no restringe su valor.