Ejemplo de maximización

 

A continuación se presenta un problema de maximización:

Función Objetivo

Maximizar: Z = 2X₁ + 5X₂

Sujeto a:

X₁ + 6X₂ ≤ 20

X₁ + X₂ ≤ 60

X₁  ≤ 40

X₁, X₂ ≥ 0

 

Solución

 

El problema se adecuará al modelo estándar de programación lineal, agregando las variables de holgura, exceso y/o artificiales en cada una de las restricciones:

• Restricción 1: Tiene signo «≤» (menor igual) por lo que se agrega la variable de holgura S1.
• Restricción 2: Tiene signo «≤» (menor igual) por lo que se agrega la variable de holgura S2.
• Restricción 3: Tiene signo «≤» (menor igual) por lo que se agrega la variable de holgura S3.

A continuación se muestra el problema en la forma estándar. Se colocará el coeficiente 0 (cero) donde corresponda para crear nuestra matriz:

Para encontrar la variable que entra a la base elegimos el valor más negativo del vector de costes reducidos: -5. Por lo tanto la variable de entrada sería X₂.

Para la variable de salida dividiremos los valores de la columna R con los de la columna X₂ (siempre y cuando sean positivos). Los resultados en orden serían: 20/6, 60 y la última fila no se considera porque su valor correspondiente a X₂ no es positivo (0). Se debe elegir el menor valor de esta división: 20/6; por lo tanto la variable de salida se encuentra en la primera fila:  S₁.

El elemento pivote se encuentra en el cruce de X₂ y S₁: 6.

Realizamos las reducciones de Gauss-Jordan:

Ingresa la variable X₁ y sale de la base la variable X₂. El elemento pivote es 1/6. Repetimos las operaciones de Gauss-Jordan y obtenemos la siguiente matriz:

En esta última matriz, todos los valores del vector de costes reducidos son positivos lo que indica que nos encontramos en el punto óptimo. El resultado sería:

Z = 40

X₁= 20, X₂= 0, S₁= 0, S₂= 40, S₃= 20